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개발자의 공부방/전공

집합

by 쌈빡한 쥬니준 2019. 5. 24.

 

집합

집합의 개념 

명확한 기준에 의해 분류되어 공통된 성질을 가지며 중복되지 않는 원소의 모임 

 

표기 방식 

원소나열법 : 집합에 포함되는 원소를 일일이 나열 

예 A= {1,2,3,4,5,6,7}

조건 제시법 : 원소의 공통 성질을 조건식으

예 : A={x|0<x≤7, x∈N}

※N(자연수) ⊂ Z(정수) ⊂ Q(유리수), I(무리수), R(실수=Q∪I ) ⊂ C(복소수)

 

집합과 원소의 포함관계 

a가 집합 A의 원소다: a∈A 

a가 집합 A의 원소가 아니다: a ∉A

 

기수 

집합 A가 포함하는 원소의 수 

A={x|-4≤x≤4, x∈Z} |A|=9

B={y|-3≤y≤3, y∈Q} |B|=∞

C={z|z 3=2, z∈Z} |C|=0

 

유한집합 : 포함되는 원소의 수가 유한한 집합 

무한집합 : 포함되는 원소의 수가 무한한 집합 

 

상등 Equal  A=B 

두 집합 원소가 동일할 때 

 

전체집합 U, Universal Set 

논의 대상이 되는 원소 전체를 포함하는 집합 

 

공집합 : Empty Set Ø

하나의 원소도 포함하지 않는 집합 

 

부분집합 A⊆B

집합 A의 모든 원소가 집합 B에 포함된다. |A|≤|B|

 

진부분집합 A⊂B

집합 A의 모든 원소가 집합 B에 포함되지만 집합 A와 집합 B가 상등이 아니다. |A|<|B|

 

 

집합 간 포함관계 정리 

모든 집합 A에 대해 A⊆A

-집합 A에 속하는 모든 원소 a에 대해 a∈A이므로 A⊆A가 성립

 

모든 집합 A에 대해 Ø⊆A 

함축명제 a∈Ø→a∈A이 참임을 이용

조건이 거짓이므로 a∈Ø→a∈A는 항상 참

∴ Ø⊆A는 참

 (※ 부분집합: a∈A→a∈B가 참이면 A⊆B) 

 

모든 집합 A에 대해 A⊆U

-집합 U는 전체집합이므로 논의 대상의 모든 원소를 포함. 즉, 모든 집합 A에 대해 a∈A이면 a∈U. ∴ A⊆U

집합 A, B, C에 대해 A⊆B고 B⊆C면 A⊆C -A⊆B에 의해 x∈A이면 x∈B이고, B⊆C에 의해 x∈B이면 x∈C이다. 결국, x∈A이면 x∈C이므로 A⊆C. ∴ A⊆B고 B⊆C면 A⊆C

 

집합 A, B에 대해 A=B ⇔ (A⊆B∧B⊆A)

원소 x에 대해 A⊆B일 경우 x∈A면 x∈B. 또, B⊆A일 경우 x∈B면 x∈A. 즉, 원소 x는 집합 A의 원소면서 집합 B의 원소.

x∈A∧x∈B) ⇔ A=B (상등의 정의) ∴ A=B ⇔ (A⊆B∧B⊆A) 

 

집합의 종류 

집합 A와 B, 집합 B와 C, 집합 B와 E, 집합 C와 E, 집합 C와 D 간의 포함관계는?

A={a}, B={a, b, w, x, y}, C={x, y}, D={w, x}, E={a, b, w, x, y, z}

 

 

집합의 연산 

합집합 

집합 A, B에 대하여 A와 B에 모두 속하거나 두 집합 중 한 집합에 속하는 원소들로 구성된 집합

A∪B={x|x∈A∨x∈B}

 

교집합 

집합 A, B에 대하여, A와 B에 모두 속하는 원소들로 구성된 집합

A∩B={x|x∈A∧x∈B} 

   

서로소 

집합 A, B에 대하여, A와 B 모두에 공통으로 속하는 원소가 하나도 없는 경우

A∩B=Ø

 

합집합과 교집합 

|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|

A∩B| = |A| + |B| - |A∪B| 

|A∩B| = Ø(서로소)인 경우, |A∪B| = |A| + |B|

 

합집합과 교집합의 기수 

|A∪B∪C| =|A|+|B|+|C| -|A∩B|-|B∩C|-|C∩A| +|A∩B∩C|

 

차집합(Difference) A-B 

집합 A, B에 대하여, A에는 속하지만 B에는 속하지 않는 원소들로 구성된 집합 

A-B={x|x∈A∧x ∉B}

 

대칭차집합(Symmetric Difference) A⊕B

집합 A, B에 대하여, A-B에 속하거나 B-A에 속하는 원소들로 구성된 집합

 

여집합 또는 보집합(Complement) Ā 또는 A'

전체집합 U에는 속하지만 집합 A에는 속하지 않는 원소들로 구성된 집합

 

멱집합(Power Set) P(A)

n개의 원소를 갖는 집합 A에 대하여, A의 모든 부분집합을 원소로 갖는 집합

P(A)={B|B⊆A}  |P(A)|=2^n

집합론에서, 멱집합(冪集合, 영어: power set)은 특정 집합의 모든 부분집합을 모은 집합이다.

집합 

 의 멱집합은 표기할 때에는 

 등을 사용한다.

 

집합 

의 경우, 집합 

의 모든 부분집합은 다음과 같다.

따라서 집합 S에 대한 멱집합 P(S)는 이 부분집합들을 모두 모은 

가 된다

 

 

출처 : https://blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=maverickjin8&logNo=220253883856&proxyReferer=https%3A%2F%2Fwww.google.com%2F

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