집합

 

집합

집합의 개념  명확한 기준에 의해 분류되어 공통된 성질을 가지며 중복되지 않는 원소의 모임    표기 방식  원소나열법 : 집합에 포함되는 원소를 일일이 나열  예 A= {1,2,3,4,5,6,7} 조건 제시법 : 원소의 공통 성질을 조건식으 예 : A={x|0<x≤7, x∈N} ※N(자연수) ⊂ Z(정수) ⊂ Q(유리수), I(무리수), R(실수=Q∪I ) ⊂ C(복소수)   집합과 원소의 포함관계  a가 집합 A의 원소다: a∈A  a가 집합 A의 원소가 아니다: a ∉A   기수  집합 A가 포함하는 원소의 수  A={x|-4≤x≤4, x∈Z} |A|=9 B={y|-3≤y≤3, y∈Q} |B|=∞ C={z|z 3=2, z∈Z} |C|=0   유한집합 : 포함되는 원소의 수가 유한한 집합  무한집합 : 포함되는 원소의 수가 무한한 집합    상등 Equal  A=B  두 집합 원소가 동일할 때    전체집합 U, Universal Set  논의 대상이 되는 원소 전체를 포함하는 집합    공집합 : Empty Set Ø 하나의 원소도 포함하지 않는 집합    부분집합 A⊆B 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 포함된다. |A|≤|B|   진부분집합 A⊂B 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 포함되지만 집합 A와 집합 B가 상등이 아니다. |A|<|B|

 

 

집합 간 포함관계 정리 

모든 집합 A에 대해 A⊆A -집합 A에 속하는 모든 원소 a에 대해 a∈A이므로 A⊆A가 성립   모든 집합 A에 대해 Ø⊆A  함축명제 a∈Ø→a∈A이 참임을 이용 조건이 거짓이므로 a∈Ø→a∈A는 항상 참 ∴ Ø⊆A는 참  (※ 부분집합: a∈A→a∈B가 참이면 A⊆B)    모든 집합 A에 대해 A⊆U -집합 U는 전체집합이므로 논의 대상의 모든 원소를 포함. 즉, 모든 집합 A에 대해 a∈A이면 a∈U. ∴ A⊆U 집합 A, B, C에 대해 A⊆B고 B⊆C면 A⊆C -A⊆B에 의해 x∈A이면 x∈B이고, B⊆C에 의해 x∈B이면 x∈C이다. 결국, x∈A이면 x∈C이므로 A⊆C. ∴ A⊆B고 B⊆C면 A⊆C   집합 A, B에 대해 A=B ⇔ (A⊆B∧B⊆A) 원소 x에 대해 A⊆B일 경우 x∈A면 x∈B. 또, B⊆A일 경우 x∈B면 x∈A. 즉, 원소 x는 집합 A의 원소면서 집합 B의 원소. x∈A∧x∈B) ⇔ A=B (상등의 정의) ∴ A=B ⇔ (A⊆B∧B⊆A)    집합의 종류  집합 A와 B, 집합 B와 C, 집합 B와 E, 집합 C와 E, 집합 C와 D 간의 포함관계는? A={a}, B={a, b, w, x, y}, C={x, y}, D={w, x}, E={a, b, w, x, y, z}

 

 

집합의 연산 

합집합  집합 A, B에 대하여 A와 B에 모두 속하거나 두 집합 중 한 집합에 속하는 원소들로 구성된 집합 A∪B={x|x∈A∨x∈B}   교집합  집합 A, B에 대하여, A와 B에 모두 속하는 원소들로 구성된 집합 A∩B={x|x∈A∧x∈B}      서로소  집합 A, B에 대하여, A와 B 모두에 공통으로 속하는 원소가 하나도 없는 경우 A∩B=Ø   합집합과 교집합  |A∪B| = |A| + |B| - |A∩B| A∩B| = |A| + |B| - |A∪B|  |A∩B| = Ø(서로소)인 경우, |A∪B| = |A| + |B|   합집합과 교집합의 기수  |A∪B∪C| =|A|+|B|+|C| -|A∩B|-|B∩C|-|C∩A| +|A∩B∩C|   차집합(Difference) A-B  집합 A, B에 대하여, A에는 속하지만 B에는 속하지 않는 원소들로 구성된 집합  A-B={x|x∈A∧x ∉B}   대칭차집합(Symmetric Difference) A⊕B 집합 A, B에 대하여, A-B에 속하거나 B-A에 속하는 원소들로 구성된 집합   여집합 또는 보집합(Complement) Ā 또는 A' 전체집합 U에는 속하지만 집합 A에는 속하지 않는 원소들로 구성된 집합   멱집합(Power Set) P(A) n개의 원소를 갖는 집합 A에 대하여, A의 모든 부분집합을 원소로 갖는 집합 P(A)={B|B⊆A}  |P(A)|=2^n 집합론에서, 멱집합(冪集合, 영어: power set)은 특정 집합의 모든 부분집합을 모은 집합이다. 집합   의 멱집합은 표기할 때에는  , , ,   등을 사용한다.   집합  의 경우, 집합  의 모든 부분집합은 다음과 같다.  (공집합) 따라서 집합 S에 대한 멱집합 P(S)는 이 부분집합들을 모두 모은  가 된다

 

 

출처 : https://blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=maverickjin8&logNo=220253883856&proxyReferer=https%3A%2F%2Fwww.google.com%2F